Рассмотрена трещина между двумя анизотропными полуплоскостями под действием нормальной и сдвиговой нагрузки на бесконечности. С целью устранения особенностей напряжений на продолжении трещины введены полосы пластичности с определенным законом изменения напряжений в этих полосах. В результате сведения проблемы к краевой задаче Римана и использования точного решения задачи получены трансцендентные уравнения относительно длин указанных полос и аналитические выражения для напряжений в них. Из предположения, что в полосах пластичности материал идеально пластический, а полуплоскости ортотропны, получены численные значения длин таких полос в зависимости от внешней нагрузки и механических характеристик материалов.

Висвітлено основні теоретичні положення й алгоритми числового розв'язання задач неперервної не- та диференційованої оптимізації. Розкрито зміст основних теорії оптимізації, визначено умови оптимальності. Наведено теореми Куна-Такера, методи спряжених градієнтів і напрямів, покординатного спуску, змінної метрики. Увагу приділено числовим методам умовної оптимізації, зокрема, лінеаризації, штрафних функцій, можливих напрямків, проекції градієнта.

Освещены основные теоретические положения и алгоритмы числового решения задач непрерывной не- и дифференцированной оптимизации. Раскрыто содержание основных теорем оптимизации, определены условия оптимальности. Приведены теоремы Куна-Такера, методы сопряженных градиентов и направлений, покоординатного спуска, переменной метрики. Внимание уделено числовым методам условной оптимизации, в частности, линеаризации, штрафных функций, возможных направлений, проекций градиента.

Розв'язано плоску задачу для дугової тріщини між круговим включенням і нескінченною матрицею під дією довільно орієнтованого рівномірного напруження на нескінченості. Побудовано та розв'язано за методом механічних квадратур система сингулярних інтегральних рівнянь відносно невідомих функцій, які характеризують розкриття тріщини.

Запропоновано точний аналітичний підхід до дослідження плоскої деформації п'єзоелектричного біматеріалу з електродованою електрично зарядженою тріщиною, розташованою на межі поділу його компонент. Вважається, що на нескінченності задано поле нормальних та дотичних напружень та електричне поле, паралельне до берегів тріщини. Допускалося також, що береги тріщини можуть контактувати на деякій ділянці невідомої довжини, що примикає до однієї з вершин тріщини. Сформульовано комбіновану крайову задачу Діріхле - Рімана, для якої виписано точний аналітичнім розв'язок. Із використанням умов контактування берегів тріщини знайдено довжину зони контакту берегів тріщини та відповідні електромеханічні характеристики. Проведено числову ілюстрацію одержаних розв'язків. Показано, що як віддалене електричне поле, так і сумарний заряд тріщини суттєво впливають на довжину зони контакту та електромеханічні характеристики в околі тріщини.

Досліджено міжфазну тріщину в п'єзомагнітному біматеріалі з зонами передруйнування, яка знаходиться під дією стискальних та зсувних напружень на віддаленні від неї. Сформульована крайова задача Діріхле - Рімана, для якої виписано точний аналітичний розв'язок. Знайдені довжини зон відкриття та закриття тріщини, стрибки переміщень у залежності від інтенсивності нормального та зсувного напруження на нескінченності і механічних властивостей матеріалів.

Розглянуто плоску задачу про дугову тріщину між круговим включенням та нескінченною матрицею, які мають різні механічні характеристики. Вважається, що на нескінченності діє рівномірне розтягуюче напруження, яке направлене під деяким кутом до центральної осі дугової тріщини. Проблема зводиться до системи сингулярних інтегральних рівнянь відносно невідомих функцій, які характеризують розкриття тріщини. Окремо розглянуто випадок тріщини в однорідному матеріалі. Графічно проілюстровано розкриття та поведінка нормального і дотичного напружень в околі кожної з вершин дугової тріщини.

Досліджено міжфазну тріщину з зонами передруйнування, яка знаходиться під дією зсувних напружень на віддаленні від неї. Сформульована крайова задача Діріхле, для якої виписано точний аналітичний розв'язок. Знайдені відносні довжини зон передруйнування, стрибки переміщень залежно від інтенсивності зсувного напруження на нескінченності і механічних властивостей матеріалів.

Розроблено методику, яка узагальнила модель Леонова - Панасюка - Дагдейла на випадок тріщини, що розташована на межі поділу ізотропних, анізотропних або п'єзоелектричних матеріалів. Її застосування усуває особливості в нормальному та дотичному напруженнях і дає можливість використати деформаційний критерій руйнування для вказаного типу тріщин. Математичні моделі міжфазних тріщин із зонами передруйнування описано у вигляді задач лінійного спряження для кусково-аналітичних функцій; для всіх указаних комбінацій матеріалів виписано точні аналітичні розв'язки. Досліджено зони локалізації пластичних деформацій у тонкому прошарку між двома різнорідними матеріалами, діаграма деформування якого має "пік-зуб". Побудовано модель електромеханічної зони передруйнування, що враховує механічні й електричні ефекти на продовженні тріщини зі скінченною електричною проникністю у п'єзоелектричному матеріалі та дозволяє усунути особливості в напруженнях і в електричному зміщенні. Розроблено методику дослідження міжфазної електропровідної тріщини з зоною контакту у п'єзоелектричному біматеріалі під дією механічного навантаження й електричного поля, паралельного берегам тріщини. Застосування цієї методики виявило суттєвий вплив електричного поля й електричного заряду тріщини на довжину зони контакту та параметри руйнування. Проаналізовано тріщину між двома ізотропними або п'єзоелектричними матеріалами під дією комбінації віддалених стискаючого нормального та зсувного напружень і зосереджених сил на її берегах. Враховано можливість спільного існування відкритих зон тріщини та зон контакту берегів.

Розглянуто тріщину між двома п'єзокерамічними матеріалами з відкритими ділянками та зонами гладкого контакту її берегів під дією змітаного зовнішнього навантаження. Сформульовано комбіновану крайову задачу Діріхле - Рімана, для якої виписано точний аналітичний розв'язок. Проаналізовано довжину зони контакту берегів тріщини залежно від співвідношення інтенсивності зсувних і нормальних напружень.

Наведено основні теоретичні відомості про формальне доведення теорем числення висловлювань і доведення теорем з детальним обґрунтуванням. Зауважено, що автоматизація пошуку доведень теорем належить до найважливіших застосувань математичної логіки. Ефективне знаходження доведень необхідне для успішного розв'язання низки задач, що виникають у сучасних інтелектуальних інформаційних системах. Такими є, зокрема, задачі подання знань і роботи з ними в базах даних і базах знань, задачі логічного програмування і дедуктивних баз даних.

Представлено розділи, які традиційно вивчаються в курсі математичної логіки: алгебра логіки та числення висловлювань, логіка та її числення предикатів. Розглянуто питання змістовного та формального визначення логіки висловлювань та логіки предикатів. Наведено велику кількість прикладів і розвязаних задач, які допомагають засвоїти та закріпити матеріал, що викладається. Розглянуто прикладні числення предикатів, зокрема формальна арифметика, та модальні логіки. Визначено логіку висловлювань: висловлювання та логічні операції над ними; формули логіки висловлювань; класифікація формул алгебри висловлювань; логічна рівносильність формул; нормальні форми формул логіки висловлювань; логічне слідування формул; застосування алгебри висловлювань до аналізу та синтезу контактних (перемикальних) схем. Розглянуто числення висловлювань; аксіоми числення висловлювань; правила виведення числення висловлювань; формальне доведення; теорема дедукці; наслідки з теореми дедукції; повнота числення висловлювань; Ннсуперечливість, розв'язність ЧВ; незалежність аксіом формалізованого ЧВ; метод резолюцій у логіці висловлювань; метод резолюцій для хорновських диз'юнктів. Визначено логіку предикатів: поняття предиката; класифікація предикатів та логічні операції над предикатами; кванторні операції над предикатами; мови першого порядку; пренексна (випереджена) нормальна та сколемівська стандартна форми формули; сколемівська стандартна форма формули; визначення та властивості виконуваності формули на послідовност.